نظرية المجموعات: مقدمة

منذ حوالي 100 عام، أسس جورج كانتور (Georg Cantor) نظرية المجموعات (Set theory) ومنذ ذلك الحين فإن العديد من فروع الرياضيات استخدمت نظرية المجموعات لتطوير علم الرياضيات وإضافة مفاهيم جديدة، وكانت صياغة كانتور لمفهوم المجموعة الرياضية قاصرة بعض الشيء، وعلى الرغم من ذلك فإن مفهوم نظرية المجموعات كما صاغها ما زال صالحاً للاستخدام في أغلب الأحوال، ويختلف المفهوم الحديث للمجموعة الرياضية عن مفهوم كانتور بأنه وضع تعريفاً دقيقاً جداً للمجموعة في صورة عدد من المسلمات لتجنب قصور التعريف الأصلي، ولا يتعارض التعريف الحديث مع تعريف كانتور ولكنه يحدده بوضوح لتجنب حدوث متناقضات مثل مفارقة راسل (Russel's paradox)، لكنني سأقصر الحديث في هذا المقال على المفهوم الأصلي البسيط للمجموعة الرياضية لسهولته وصلاحيته لمعظم الاستخدامات الرياضية العادية، وهذا المفهوم يسمى نظرية المجموعات الكانتورية (Cantorian set theory) أو نظرية المجموعات البسيطة (Naive set theory) في مقابل المفهوم الأحدث والأكثر صرامة المسمى نظرية المجموعات المسلمية (Axiomatic set theory) والتي يوجد منها عدة أنواع، ولكي نفهم لغة الرياضيات المستخدمة في هذا السياق نستعرض أولاً كيفية التعبير عن شيء من المنطق في الرياضيات.

قوانين التفكير

أرسطو

قوانين التفكير هي قواعد ثلاثة بسيطة تشكل الأساس لكل عملية فكرية نعملها، وهي كأي فكرة أولية لا يمكن إثباتها ولا استنتاجها من شيء آخر، لكن نقيضها أو نفيها يمكن الجدل ضده بقوة، ومنها قوانين ثلاثة تقليدية يعود تاريخها إلى زمن أفلاطون (Plato) الفيلسوف الإغريقي الشهير، وعلى مر القرون توصلنا إلى معرفة أصح لهذه القوانين وكيفية استخدامها، وفي خلال عصر النهضة في أوروبا حدث الكثير من التطور في العلوم والفلسفة، فأعاد العالم الألماني الشهير لايبنتس (Leibniz) مراجعة هذه القوانين وأضاف إليها، على الرغم أن بعض إضافاته لا تزال محل جدل. في هذا المقال أناقش قوانين التفكير ومعناها وكيفية استخدامها الصحيح، وأقدم بعض أمثلة لاستخدامها في الرياضيات، لكن الأمثلة الرياضية ليست ضرورية لفهم قوانين التفكير ولا النقاش هذا.

مفارقة راسل وحدود قدرة الله

برتراند راسل (Bertrand Russell) فيلسوف وعالم رياضيات ومنطق وكاتب بريطاني ولد عام ١٨٧٢ وتوفي عام ١٩٧٠، وكانت له مساهمات عظيمة في الرياضيات والمنطق، ومن ضمن هذه المساهمات ما يعرف باسم مفارقة راسل (Russel's paradox) التي سميت على اسمه بالطبع. القصة تبدأ من عام ١٨٧٤ وعندما كان برتراند راسل عمره عامان فقط، وفي ذلك العام نشر عالم الرياضيات الألماني جورج كانتور (Georg Cantor) ورقة أسست لما نطلق عليه الآن نظرية المجموعات (Set Theory)، وقد كان لهذه النظرية أكبر الأثر في تطور المنطق والكثير من فروع الرياضيات، وكانتور له إسهامات تاريخية في علم الرياضيات أحدها تأسيس نظرية المجموعات. لكن لأن نظرية المجموعات كانت في المهد في هذا الوقت، فحتى العبقري كانتور لم يفطن إلى أن تعريفه الرياضي للمجموعة ليس كاملاً، وأنه ينتج عنه مفارقة تجعل هناك تناقضاً في الرياضيات، وهو أمر غير مقبول بالمرة.

الأعداد الأولية

هذه التدوينة هي من سلسلة تدور حول الرياضيات. هذا الرابط يحتوي على قائمة بالتدوينات المتعلقة بهذا الموضوع.

---

المقال السابق: القسمة والكسور

---

ذكرنا في مقال سابق أن باقي قسمة عدد \(a\) على عدد آخر \(b\) عندما يكون صفراً فإننا نقول إن \(a\) يقبل القسمة على \(b\)، والسؤال الآن: هل كل الأعداد تقبل القسمة على أعداد أخرى بخلاف الواحد الصحيح أم أن هناك أعداد لا تقبل القسمة إلا على نفسها أو على الواحد الصحيح؟ بديهي أن كل عدد \(a\) يقبل القسمة على آخر \(b\) يكون أكبر من الآخر المقسوم عليه أو مساوياً له، بمعنى أن يكون \(a \ge b\) وإلا إذا كان أصغر منه فإن \(a\) لن يكون به ’ما يكفي‘ للتقسيم على عدد \(b\) من المجموعات، وسيكون هناك حتماً باقٍ للقسمة لا يساوي الصفر، وبالتالي فإنه لن يكون قابلاً للقسمة على \(b\). وبما أن القسمة على الصفر غير معرفة، وبما أن

\[ \frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}; \quad b \neq 0 \]

فإن قبول القسمة من عدمه لا يعتمد على إشارة البسط أو المقام وإنما على القيمة المطلقة للبسط والمقام، ولذلك سنتعامل مع الأعداد الموجبة الصحيحة فقط (أي الأعداد الطبيعية) للتسهيل.

القسمة والكسور

هذه التدوينة هي من سلسلة تدور حول الرياضيات. هذا الرابط يحتوي على قائمة بالتدوينات المتعلقة بهذا الموضوع.

---

المقال السابق: الضرب والقسمة

---

حتى الآن كان كل تعاملنا مع الأعداد الصحيحة، سواء كانت موجبة أم سالبة، لكن الطبيعة من حولنا فيها الكثير من الأشياء التي لا تعتبر وحدات صحيحة، بل إننا في الكثير من الأحيان نود تقسيم الوحدة الصحيحة إلى أجزاء، وقد عرف القدماء أهمية الكسور منذ القدم، ونجد أن قدماء المصريين عرفوا الكسور منذ عصر الدولة القديمة كما ذكرت في مقال سابق.

والكسور ما هي إلا تقسيم شيء على شيء آخر، وكانت هناك طرق كثيرة قديماً للتعبير عن الكسور، لكن الطريقة الرياضية الحديثة تتميز بأنها تمكننا من التعبير عن كل قيم الكسور الممكنة وتسهل علينا إجراء العمليات الحسابية عليها، ونعبر عن الكسور في الرياضيات الحديثة في صورة قسمة. الكسر يتكون من مقسوم \(x\) ومقسوم عليه \(y\)، وغالباً ما نعبر عنه بالصورة \(\frac{x}{y}\) ونسمي المقسوم ’البسط‘ (numerator) والمقسوم عليه ’المقام‘ (denominator)، وعلى الرغم من أننا يمكن أن نعبر عن الكسر بأي صورة من صور القسمة، إلا أن التعبير السابق هو الأكثر شيوعاً، وأحياناً نريد التعبير عن نسبة كمية ما إلى كمية أخرى، فنستخدم التعبير \(x:y\)، وهذا هو في واقع الأمر كسر أيضاً لكن مكتوب في صورة مختلفة، والتفريق في الصورة هنا للتفريق في المعنى فقط، لكي نوضح أننا نريد التعبير عن نسبة وليس تقسيم هذه الكمية على تلك، لكن من وجهة النظر الرياضية، فإن كل ما يجري على هذه يجري على تلك أيضاً.

الضرب والقسمة

هذه التدوينة هي من سلسلة تدور حول الرياضيات. هذا الرابط يحتوي على قائمة بالتدوينات المتعلقة بهذا الموضوع.

---

المقال السابق: الجمع والطرح

---

الضرب والقسمة ما هما إلا وسيلتان للتعبير عن نمط معين من الجمع أو الطرح الذين تحدثنا عنهما في المقال السابق، واستخدام مفهوم الضرب والقسمة يؤدي إلى التعبير عن الأنماط المتكررة من الجمع والطرح بشكل مختصر، وهذا الشكل نبحث هنا خصائصه.

فلنفرض أننا نريد أن نجمع عدداً ما على نفسه ونستمر في هذه العملية لعدد معين من المرات، مثلاً أن نقول:

\[ \overbrace{5+5+5+ \dotsb +5}^{100 \text{ times}}=500 \]

الجمع والطرح

هذه التدوينة هي من سلسلة تدور حول الرياضيات. هذا الرابط يحتوي على قائمة بالتدوينات المتعلقة بهذا الموضوع.

---

المقال السابق: أسس الرياضيات

---

ناقشت في مقال سابق الأسس التي بني عليها علم الرياضيات، وأناقش في هذا المقال كمثال على ما ذكرته سابقاً كيف أن الجمع والطرح هما عدّ في الأساس.

الجمع ما هو إلا عدّ في الاتجاه الصاعد، والطرح عدّ في الاتجاه الهابط، وهذا بالضبط ما نعلمه للأطفال عندما نعلمهم الجمع والطرح، فنعلمهم العدّ أولاً، ثم نعلمهم الجمع لأنه في نفس اتجاه العد، ثم بعد أن يتعلموا الجمع نعلمهم الطرح لأنه في الاتجاه المعاكس لاتجاه الجمع، ولتفادي تشويش التفكير عند الأطفال نستخدم أشياء مادية تسهل لهم فكرة العد، مثل المكعبات أو اللعب أو ثمار الفاكهة، ولتعليمهم الجمع نجعلهم يعدون مجموعة ما من الأشياء، ولتكن مكعبات مثلاً، ومجموعة أخرى من المكعبات المماثلة، ثم نعلمهم أن الجمع هو أن نضيف هذه على تلك ونعد الكل معاً، وعندما يكبرون قليلاً يمكن أن نعلمهم أن يقوموا بعملية الجمع مستخدمين أصابع يديهم عن طريق عدّ العدد الأول المراد إضافته ثم الاستمرار في عدّ العدد الثاني من بعده، وهذا هو بالضبط الجمع.

أسس الرياضيات

هذه التدوينة هي من سلسلة تدور حول الرياضيات. هذا الرابط يحتوي على قائمة بالتدوينات المتعلقة بهذا الموضوع.

الرياضيات كعلم واسع ومعقد (كما يبدو للبعض) مبني في مجمله على مجموعة بسيطة جداً من المبادئ والأفكار:

• العدّ (counting): وهو إدراك أن الشيء الواحد الصحيح يعبر في وجوده عن خاصية مشتركة بين كل الأشياء، وهي خاصية أنه موجود وواحد وصحيح! وكل شيء واحد صحيح من نفس النوع له هذه الخاصية، فهو موجود وواحد وصحيح. ووجود أكثر من واحد من نفس نوع هذا الشيء الواحد الصحيح هو ما نشأ عنه مفهوم العد للتعبير عن كمية هذه الأشياء الواحدة الصحيحة، فبدلاً من أن نقول هناك شجرة واحدة صحيحة وشجرة واحدة صحيحة وشجرة واحدة صحيحة نقول أن هناك 3 شجرات! منذ عصور ما قبل التاريخ المدون والإنسان يستخدم العد (كما رأينا فيما وصلنا من آثار، وقد ناقشت هذا في مقال سابق)، غير أن وسيلة العد البدائية كانت كما ذكرت سابقاً: واحد وواحد وواحد بدلاً من ثلاثة! وتطورت نظم العد والأرقام مع الزمن لتسهيل العد وتسهيل التعامل مع الأعداد. والعد مفهوم مجرد عن الماديات، ويمكن تطبيقه على أي شيء لأنه لا يتعلق بأي خصائص أخرى غير كون الشيء موجوداً وواحداً وصحيحاً، فيمكن أن نعد الثمار أو البذور أو قطرات المطر أو حبات الرمال أو عدد المشاركين في حدث ما أو حتى عدد الكلمات التي قالها شخص ما أو عدد الأفكار الجديدة الناتجة عن مجموعة بحثية، فالعد ينطبق على المادي والمجرد على حد سواء.

الأرقام البابلية المسمارية

هذه التدوينة هي من سلسلة تدور حول تاريخ الأرقام. هذا الرابط يحتوي على قائمة بالتدوينات المتعلقة بهذا الموضوع.

---

الحلقة السابقة: الأرقام المصرية القديمة

---

وليس بعيداً عن الحضارة المصرية، ابتكرت حضارات ما بين النهرين—السومرية (Sumerian) والأكادية (Akkadian) والبابلية (Babylonian) والآشورية (Assyrian)— نظاماً عددياً خاصاً بها يختلف عن النظام المصري بشكل ملحوظ. ذلك النظام كان يعتمد على الأساس ٦٠ وليس الأساس ١٠ مثل النظام المصري القديم، ولهذا يسمى النظام الستيني (Sexagesimal system).

الأرقام المصرية القديمة

هذه التدوينة هي من سلسلة تدور حول تاريخ الأرقام. هذا الرابط يحتوي على قائمة بالتدوينات المتعلقة بهذا الموضوع.

---

الحلقة السابقة: نشأة الأرقام

---

كما تكلمنا سابقاً عن بداية نشأة الأرقام، فإن العلامات الإحصائية (tally marks) كانت محدودة الفائدة إلى حد ما، وخصوصاً عندما يتطلب الأمر استخدام أرقام كبيرة، ولذلك كان لزاماً على الحضارات القديمة تطوير نظام رقمي يناسب التعبير عن الأرقام الكبيرة ويسهل الحساب وكذلك يعبر عن الكسور وليس الأعداد الصحيحة فقط، ويمكننا أن نتخيل بسهولة أن عدم وجود مثل هذا النظام الرقمي يجعل من إنجاز مثل بناء الأهرام أو المدن الضخمة أو القصور والمعابد الكبيرة مستحيلاً من وجهة النظر العملية، ولأن الحضارة المصرية هي أقدم حضارات العالم، فأنه ليس غريباً أن يتطور النظام الرقمي الأقدم في مصر الفرعونية.

نشأة الأرقام

هذه التدوينة هي من سلسلة تدور حول تاريخ الأرقام. هذا الرابط يحتوي على قائمة بالتدوينات المتعلقة بهذا الموضوع.

الأرقام هي تعبير عن مفهوم بسيط وبدائي جداً هو العدّ—لكنه في ذات الوقت من المفاهيم الأساسية التي تبنى عليها علوم الرياضيات، وبالتالي كل فروع العلوم الحديثة التي تحتاج إلى قياس وتجريب—فكيف نشأت الأرقام وكيف تطورت من القديم إلى عصرنا الحالي؟

أبسط طرق العد تتمثل في القيام بعمل رمز معين واحد لكل شيء واحد يتم عده، بحيث يكون هناك علاقة تطابق بين الرموز والأشياء المراد عدها (one-to-one relationship)، ويظن أن هذه أقدم طريقة عرفها البشر للعد. من أشهر الآثار التي يظن أنها كانت تستخدم للعد عظمة إيشانجو (Ishango bone) وهي عظمة من عظام قرد البابون تم اكتشافها في الكونغو عام ١٩٦٠، ووجد عليها علامات محفورة في مجموعات، ويظن أنها كانت تستخدم للعد. تم أيضاً اكتشاف عظمة ليبومبو (Lebombo bone) في سوازيلاند، وهي أقدم من عظمة إيشانجو، ويظن أن العلامات المحفورة عليها كانت تستخدم في تتبع التقويم القمري، كما اكتشفت أيضاً عظمة ذئب—تسمى أحياناً عظمة ’الذئب‘ (Wolf bone) نظراً لأهميتها التاريخية—في تشيكوسلوفاكيا عام ١٩٣٧، وعليها أيضاً علامات محفورة يظن أنها كانت تستخدم لنفس الغرض.

الإيضاح و التبيين في نقصان العقل والدين

هذا المقال إعادة كتابة لمقال سابق بعنوان «أختاه، افرحي. أنت ناقصة عقل ودين»، وذلك لأن النقاش في المقال الأول قد طال بما يجعل في تحديثه تعقيداً أكثر من إعادة كتابته ولأنني اكتشفت خطأ في الحساب أصححه في هذا المقال

هذا المقال هو أحد مجموعة من المقالات تختص بنقاش موضوعات إسلامية بشكل أو بآخر. ستجد في هذا الرابط قائمة بالمقالات المتاحة.

من أكثر ما أدهشني في الجدل الدائر حول صحة الأحاديث النبوية وأهمية البخاري وما إلى ذلك أن ينبري أحدهم لا للدفاع عن البخاري، ولا للدفاع عن حقوق المرأة ومساواتها بالرجل، ولا للتشكيك في البخاري ومحتواه، ولا حتى لتبرير حديث أن النساء ناقصات عقل ودين، ولكن لمحاولة إقناع النساء أن هذا الوصف مديح وليس ذمًا!! وفي هذا المقال أوضح ليس فقط أن هذا الحديث فيه ذم واحتقار للمرأة ولكن أيضاً أن اعتبار شهادةtestimony المرأة نصف شهادة الرجل تحت أي ظرف هو خطأ حسابي ومنطقي واضح لا يمكن أن يصدر عن إله.

إسلاموفوبيا: مَنْ يخاف مِمَّنْ؟

هذا المقال هو أحد مجموعة من المقالات تختص بنقاش موضوعات إسلامية بشكل أو بآخر. ستجد في هذا الرابط قائمة بالمقالات المتاحة.

تُعَرَّف الفوبيا (phobia)—أو الخوف المرضي— على أنها خوف غير مُبَرّر ومستمر من موقف أو شيء محدد، لا يتناسب مقداره مع الخطر الحقيقي. والمريض بالفوبيا قد يبذل مجهوداً غير عادي لتجنب العوامل المسببة للخوف المرضي، وفي حالة عدم القدرة على تجنب مثل هذه العوامل، فإن المريض يعاني من حالة من الهلع تتسبب في التأثير بقوة وبشكل سلبي على أنشطته الاجتماعية أو الوظيفية (اقرأ المزيد في ويكيبيديا). وفي السياق العام للكلام (وأعني خارج السياق الإكلينيكي بغرض تشخيص المرض)، فإن الفوبيا عادة ما تُستَخدم للتعبير عن حالة من الخوف الشديد أو الاشمئزاز الشديد من شيء ما على وجه الخصوص، عادة بدون مبرر واضح، ويَغلُب استخدامها في هذا المعرض لوصم الموصوف به بنقيصة، مثل استخدام هوموفوبيا (homophobia) أي الاشمئزاز الشديد من مثليي الجنس (homosexuals) في المجتمعات الغربية، ويُعْنَى به الاشمئزاز الذي يدفع بصاحبه إلى تجنب التواجد مع مثليي الجنس في نفس المكان بأي طريقة ما، بل ومهاجمتهم ومحاولة إزاحتهم من كافة مجالات الحياة تماماً. فما هي قصة الإسلاموفوبيا، وهل فعلاً يصح تسميتها كذلك؟ وهل توجد أصلاً أم هي مصطلح وهمي لشيء وهمي؟ وأهم ما في الموضوع: من يخاف مِمَّن؟

"المنطق" الإسلامي

هذا المقال هو أحد مجموعة من المقالات تختص بنقاش موضوعات إسلامية بشكل أو بآخر. ستجد في هذا الرابط قائمة بالمقالات المتاحة.

تتناقش مع الكثير من المسلمين فتقابل بردود مثل ”أنا كافر عندك مثلما أنت كافر عندي“ أو ”أنت تعتبرني درجة ثانية أيضاً لأنني لا أؤمن بما تعتقد“ أو ”كل من هو غير مسلم لا يدرك عظمة الإسلام“ أو ما شابهها من مغالطات وإسقاطات نفسية على غير المسلم الذي ينتقد الإسلام. أتناول في هذا المقال مناقشة بعض هذه الردود وبيان عدم منطقيتها وأرجو أن يتوقف المسلمون عن استخدامها كردود ’منطقية‘ على مناقشيهم، خاصة عندما لا يتعلق موضوع النقاش بالرد على الإطلاق! العنوان هنا لا يقصد نسبة محتوى المقال إلى الإسلام كنظام فكري، وإنما نسبته إلى بعض المدافعين بشكل آلي عن الإسلام ومناقشة ردودهم المتكررة.