يَسْتَحِقُّ الْقِرَاءَةَ: القسمة والكسور

هذه التدوينة هي من سلسلة تدور حول الرياضيات. هذا الرابط يحتوي على قائمة بالتدوينات المتعلقة بهذا الموضوع.

حتى الآن كان كل تعاملنا مع الأعداد الصحيحة، سواء كانت موجبة أم سالبة، لكن الطبيعة من حولنا فيها الكثير من الأشياء التي لا تعتبر وحدات صحيحة، بل إننا في الكثير من الأحيان نود تقسيم الوحدة الصحيحة إلى أجزاء، وقد عرف القدماء أهمية الكسور منذ القدم، ونجد أن قدماء المصريين عرفوا الكسور منذ عصر الدولة القديمة كما ذكرت في مقال سابق.

والكسور ما هي إلا تقسيم شيء على شيء آخر، وكانت هناك طرق كثيرة قديماً للتعبير عن الكسور، لكن الطريقة الرياضية الحديثة تتميز بأنها تمكننا من التعبير عن كل قيم الكسور الممكنة وتسهل علينا إجراء العمليات الحسابية عليها، ونعبر عن الكسور في الرياضيات الحديثة في صورة قسمة. الكسر يتكون من مقسوم \(x\) ومقسوم عليه \(y\)، وغالباً ما نعبر عنه بالصورة \(\frac{x}{y}\) ونسمي المقسوم ’البسط‘ (numerator) والمقسوم عليه ’المقام‘ (denominator)، وعلى الرغم من أننا يمكن أن نعبر عن الكسر بأي صورة من صور القسمة، إلا أن التعبير السابق هو الأكثر شيوعاً، وأحياناً نريد التعبير عن نسبة كمية ما إلى كمية أخرى، فنستخدم التعبير \(x:y\)، وهذا هو في واقع الأمر كسر أيضاً لكن مكتوب في صورة مختلفة، والتفريق في الصورة هنا للتفريق في المعنى فقط، لكي نوضح أننا نريد التعبير عن نسبة وليس تقسيم هذه الكمية على تلك، لكن من وجهة النظر الرياضية، فإن كل ما يجري على هذه يجري على تلك أيضاً.

الأعداد التي يعبر عنها في صورة كسور تسمى ’الأعداد النسبية‘ (rational numbers) ويرمز لها بالرمز \(\mathbb{Q}\)، واستخدام كلمة ’نسبية‘ يوضح كما قلنا أن النسبة هي كسر في الأساس ويجري عليها ما يجري على الكسور في الرياضيات. ولأن أي عدد إذا أردنا تقسيمة على الواحد الصحيح ينتج نفس العدد (ببساطة لأنه لن يتقسم لأن المقسوم عليه واحد فقط) فإن كل الأعداد الصحيحة يمكن اعتبارها أنها أعداد نسبية مقامها الواحد الصحيح.

\[ x = \frac{x}{1} \iff x \times 1 = x \]

العلامة \(\iff\) في المعادلة السابقة تنطق ”إذا وفقط إذا“ وتعني أن ما على يمينها وما على يسارها يتفقان في الصحة أو عدم الصحة، فإذا كان أحدهما صحيحاً فإن الآخر يكون بالضرورة صحيحاً، وإذا كان أحدهما غير صحيح فإن الآخر يكون بالضرورة غير صحيح، وفي الحالة المذكورة في المعادلة أعلاه، لا يمكن أن تكون \(x = \frac{x}{1}\) صحيحة ولا تكون \(x \times 1 = x\) صحيحة. سنجد لاحقاً علامة مشابهة هي \(\implies\) السهم فيها في إتجاه واحد فقط، وتنطق ”إذا“ وتعني أن ما قبل السهم إذا كان صحيحاً فإن ما بعد السهم يكون بالضرورة صحيحاً.

نتذكر من حديثنا عن الجمع والطرح أن العامل المحايد في عملية الجمع هو الصفر، فماذا عن العامل المحايد في عملية الضرب؟ ’العامل المحايد الضربي‘ (multiplicative identity) هو الواحد الصحيح لأن أي عدد عند ضربه في الواحد الصحيح ينتج نفس العدد.

\[ x \times 1 = 1 \times x = \overbrace{1+1+ \dotsb + 1}^{x \text{ times}} = x \]

ذكرنا سابقاً أن العامل المحايد الجمعي هو الصفر، وذكرنا أن المعكوس الجمعي للعدد \(x\) هو العدد الذي عند جمعه على \(x\) ينتج العامل المحايد الجمعي، فهل هناك معكوس ضربي للأعداد؟ باستخدام نفس التعريف، فإن ’المعكوس الضربي‘ (multiplicative inverse) (ويطلق عليه في الأغلب ’المقلوب‘) للعدد \(x\) هو العدد \(\operatorname{inv}(x)\) الذي عند ضربه في \(x\) ينتج العامل المحايد الضربي (الواحد الصحيح). ومن تعريف القسمة نجد أن:

\[ \begin{equation} \label{eq:inverse} \large{\color{blue}{x \times \operatorname{inv}(x) = 1 \iff \operatorname{inv}(x) = \frac{1}{x}; \: x \neq 0}} \end{equation} \]

أي أن مقلوب أي عدد \(x\) هو كسر بسطه الواحد الصحيح ومقامه \(x\)، والصفر ليس له معكوس ضربي لأن القسمة على الصفر غير معرفة. وإذا فرضنا أن هناك عدداً \(x\) يقبل القسمة على عدد آخر \(y\) فيكون خارج القسمة \(q\) فإن:

\[ \frac{x}{y}=q; \: y \neq 0 \\ x = q \times y \]

وبضرب طرفي المعادلة في مقلوب \(y\)

\[ x \times \operatorname{inv}(y) = q \times \left[ y \times \operatorname{inv}(y) \right] \\ x \times \operatorname{inv}(y) = q \times 1 = q \quad \text{from } \eqref{eq:inverse} \\ \] \[ \begin{equation} \label{eq:divisionasmultiplication} \large{\color{blue}{x \times \operatorname{inv}(y) = q = x \times \frac{1}{y}; \: y \neq 0}} \end{equation} \]

القسمة إذاً هي ضرب في المقلوب (المعكوس الضربي) كما أن الطرح هو جمع على المعكوس الجمعي! يمكننا إذاً أن نعبر عن كل عمليات القسمة في صورة ضرب في المقلوب.

فماذا لو أردنا أن نضرب كسراً في كسر آخر؟ لنفرض أننا نريد أن نضرب الكسر \(\frac{1}{a}\) في الكسر \(\frac{1}{b}\). قلنا قبلاً أن الكسر هو في الأساس قسمة، وأن القسمة هي ضرب في المقلوب، ولأن \(\frac{1}{b}\) هي مقلوب \(b\) فإن:

\[ \frac{1}{a} \times \frac{1}{b} = \frac{1}{a} \div b = 1 \div a \div b; \quad a,b \neq 0 \]

بمعنى أن المقسوم في هذه الحالة هو الواحد الصحيح، وبالتالي فإن المقسوم في الناتج سيكون أيضاً الواحد الصحيح، فيمكن أن نعبر عن الناتج على أنه \(\frac{1}{c}\)

\[ \frac{1}{a} \times \frac{1}{b} = \frac{1}{c}; \quad a,b,c \neq 0 \]

وبضرب طرفي المعادلة في \(a\) و\(b\) و\(c\)

\[ \frac{1}{a} \times \frac{1}{b} \color{red}{\times a \times b \times c} = \frac{1}{c} \color{red}{\times a \times b \times c} \\ \left[ \frac{1}{a} \times a \right] \times \left[ \frac{1}{b} \times b \right] \times c = \left[\frac{1}{c} \times c \right] \times a \times b \\ 1 \times 1 \times c = 1 \times a \times b \quad \text{from } \eqref{eq:inverse} \\ c = a \times b \] \[ \begin{equation} \label{eq:multiplyingfractions} \large{\color{blue}{\frac{1}{a} \times \frac{1}{b} = \frac{1}{a \times b}; \quad a,b \neq 0}} \end{equation} \]

فماذا عن الكسور التي بسطها ليس الواحد الصحيح؟ نذكر مجدداً أن الكسر هو قسمة في الأساس، ويمكن تحويله إلى ضرب في المقلوب، وبالتالي نرى مما يلي أن ضرب أي كسرين في بعضهما البعض يكون ناتجه كسر بسطه حاصل ضرب البسطين ومقامه حاصل ضرب المقامين.

\[ \text{For } a,b,c,d \in \mathbb{Z}; \: b,d \neq 0 \\ \begin{aligned} \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} & = a \times \operatorname{inv}(b) \times c \times \operatorname{inv}(d) \quad \text{from } \eqref{eq:divisionasmultiplication} \\ & = (a \times c) \times \left[ \operatorname{inv}(b) \times \operatorname{inv}(d) \right] \\ & = (a \times c) \times \left[ \frac{1}{b} \times \frac{1}{d} \right] \quad \text{from } \eqref{eq:inverse} \\ & = (a \times c) \times \frac{1}{b \times d} \quad \text{from } \eqref{eq:multiplyingfractions} \\ & = (a \times c) \div (b \times d) \quad \text{from } \eqref{eq:divisionasmultiplication} \\ & = \frac{a \times c}{b \times d} \end{aligned} \] \[ \begin{equation} \label{eq:fractionmultiplication} \large{\color{blue}{\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}; \quad b,d \neq 0}} \end{equation} \]

من هذا نستنتج أيضاً أن مقلوب أي كسر (معكوسه الضربي) نحصل عليه بتبديل البسط والمقام معاً، ولهذا يطلق عليه ’المقلوب‘، لأن عاليه يصير أسفله وأسفله يصير عاليه. لنفرض أننا نريد أن نحصل على مقلوب الكسر \(\frac{a}{b}\) أي القيمة التي عند ضربها في \(\frac{a}{b}\) ينتج الواحد الصحيح.

\[ \frac{a}{b} \times \operatorname{inv}\left(\frac{a}{b}\right) = 1; \: a,b \neq 0 \\ a \times \operatorname{inv}(b) \times \operatorname{inv}\left(\frac{a}{b}\right) = 1 \quad \text{from } \eqref{eq:divisionasmultiplication} \]

بضرب طرفي المعادلة في \(b\) وفي مقلوب \(a\)

\[ a \times \operatorname{inv}(b) \times \operatorname{inv}\left(\frac{a}{b}\right) \color{red}{\times \operatorname{inv}(a) \times b} = 1 \color{red}{\times \operatorname{inv}(a) \times b} \\ \left[ a \times \operatorname{inv}(a) \right] \times \left[ \operatorname{inv}(b) \times b \right] \times \operatorname{inv}\left(\frac{a}{b}\right) = \operatorname{inv}(a) \times b \\ 1 \times 1 \times \operatorname{inv}\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{1}{a} \times b \quad \text{from } \eqref{eq:inverse} \] \[ \begin{equation} \label{eq:inversefraction} \large{\color{blue}{\operatorname{inv}\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{b}{a}; \quad a,b \neq 0}} \end{equation} \]

وبعد أن استعرضنا ذلك، نعود إلى خواص عملية القسمة لنرى لماذا أن القسمة غير تجميعية إذا اعتبرناها عملية حسابية قائمة بذاتها وكيف أنها يمكن أن تكون تبادلية في حال التعامل معها على أنها ضرب في المقلوب.

\[ (a \div b) \div c = \frac{a}{b} \div c = \frac{a}{b} \times \frac{1}{c} = \frac{a}{b \times c} \\[1.5em] a \div (b \div c) = a \div \frac{b}{c} = \frac{a}{1} \times \frac{c}{b} = \frac{a \times c}{b} \\[1.5em] a \div b = \frac{a}{b} \color{red} \neq b \div a = \frac{b}{a} \\[1.5em] a \div b = \frac{a}{1} \times \frac{1}{b} = \frac{1}{b} \times \frac{a}{1} = \frac{a}{b} \]

والقسمة إذا عاملناها كضرب في المقلوب يمكن أيضاً أن تتوزع على الجمع والطرح كما في المثال التالي:

\[ \begin{aligned} (a+b+c) \div d & = (a+b+c) \times \frac{1}{d} \\[1.5em] &= a \times \frac{1}{d} + b \times \frac{1}{d} + c \times \frac{1}{d} \\[1.5em] &= \frac{a}{d} + \frac{b}{d} + \frac{c}{d} \end{aligned} \]

ونرى لماذا لا يمكن أن تتوزع القسمة في حد ذاتها على الجمع والطرح في المثال التالي:

\[ c \div (a + b) = c \times \operatorname{inv}(a+b) \color{red} \neq \frac{c}{a} + \frac{c}{b} = \frac{b \times c + a \times c}{a \times b} \]

وسنناقش في مقال لاحق جمع وطرح الكسور. ذكرنا أيضاً في المقال السابق العلاقات التالية:

\[ \text{For } \frac{a}{b}=q; \quad y \neq 0 \\ \frac{-a}{b} = -q \\ \frac{a}{-b} = -q \\ \frac{-a}{-b} = q \]

ومنها نستنتج أن:

\[ \begin{equation} \label{eq:signedfraction} \large{\color{blue}{\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}; \quad b \neq 0}} \end{equation} \]

فقيمة الكسر تكون سالبة إذا اختلفت إشارتا البسط والمقام فيه، وتكون موجبة إذا اتفقت إشارتا البسط والمقام فيه، تماماً كما هو الحال مع الضرب كما ذكرنا سابقاً.

ما تحدثنا عنه إلى الآن بخصوص القسمة والكسور يتلخص في الآتي:

الكسور هي قسمة في الأساس، والنسبة هي نوع من أنواع الكسور ويجري عليها رياضياً كل ما يجري على الكسور.
الكسر يتكون من مقسوم نسميه البسط ومقسوم عليه نسميه المقام.
كل الأعداد الصحيحة يمكن اعتبارها كسور مقامها الواحد الصحيح.
المقلوب (أو المعكوس الضربي) لأي عدد صحيح هو كسر بسطه الواحد الصحيح ومقامه هذا العدد، والمقلوب لأي كسر هو الكسر الذي بسطه مقام هذا الكسر ومقامه بسط هذا الكسر (أي نحصل عليه بتبديل البسط والمقام مكان بعضهما أو ’قلب‘ الكسر).
عملية القسمة يمكن التعبير عنها على أنها ضرب في المعكوس الضربي.
حاصل ضرب كسرين في بعضهما البعض هو كسر بسطه حاصل ضرب بسطي الكسرين ومقامه حاصل ضرب مقامي الكسرين.