يَسْتَحِقُّ الْقِرَاءَةَ: القاسم المشترك والمضاعف المشترك

هذه التدوينة هي من سلسلة تدور حول الرياضيات. هذا الرابط يحتوي على قائمة بالتدوينات المتعلقة بهذا الموضوع.

بما أن الأعداد الأولية كما ذكرنا في المقال السابق لا يمكن التعبير عنها في شكل حاصل ضرب أي عددين غير نفسها والواحد الصحيح، أي أنها لا تتحلل إلى أعداد أبسط، فإن الأعداد الأولية تعتبر بشكل أو بآخر ’الوحدات البنائية‘ للأعداد التركيبية، مثلها مثل الذرات للمواد، فكما أن غاز ’الميثان‘ مثلاً يتكون من ذرة كربون و4 ذرات هيدروجين، فإن العدد 72 يتكون من ثلاثة من العدد 2 واثنين من العدد 3 لأن \(2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 72\)، إلا أن هناك فرقاً مهماً جداً في التشبيه، وهو أن ترتيب الذرات في المركبات الكيميائية ينتج مركبات مختلفة من نفس العدد من الذرات، فمثلاً سكر ’الجلوكوز‘ وسكر ’الفركتوز‘ وسكر ’الجلاكتوز‘ كلها تتكون من 6 ذرات كربون و12 ذرة هيدروجين و6 ذرات أكسجين، غير أن ترتيب الذرات في المركب الكيميائي يختلف من هذا إلى ذاك فينتج مركبات مختلفة، لكن لأن عملية الضرب عملية تبادلية كما أوضحنا سابقاً، فإن أي عدد معين من الأعداد الأولية ينتج عدداً تركيبياً واحداً فريداً كما أوضحنا في المقال السابق، فلا يهم في حالة العدد 72 مثلاً إذا كتبنا حاصل الضرب في صورة \(2 \times 3 \times 2 \times 3 \times 2\) أو في صورة \(2 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2\) أو غيرها، فكلها في النهاية ستعطينا العدد 72.

ولذلك فإن أي عدد \(x\) إذا كان يقبل القسمة على عدد أولي \(a\)، فإن \(a\) يعتبر من عوامله الأولية، وخارج قسمة \(x\) على \(a\) إما هو عدد أولي آخر (وفي هذه الحالة لا يمكن تحليل \(x\) إلى أعداد أولية أكثر) أو هو عدد تركيبي (وفي هذه الحالة يمكن تحليل \(x\) إلى أعداد أولية أكثر) أو هو الواحد الصحيح (وفي هذه الحالة فإن \(x\) نفسه عدد أولي يساوي العدد \(a\)).

\[ \begin{equation} \label{eq:analysis} \large{\color{blue}{ \begin{aligned} &\text{For } x,q \in \mathbb{N}; \quad x \gt 1; \quad a,b \in \mathbb{P} \\ &a \mid x \iff x = a \times q \\ &\text{Where } \begin{cases} q \in \mathbb{P} \\ q \notin \mathbb{P}; \: q \neq 1 \implies b \mid q \\ q = 1 \implies x \in \mathbb{P} \impliedby x = a \times 1 = a \\ \end{cases} \end{aligned} }} \end{equation} \]

وبالتالي فإننا إذا أردنا تحليل عدد إلى عوامله الأولية فإننا نجد واحداً منها ثم نفحص خارج قسمته على هذا العدد الأولي، ونعيد الكرة حتى نصل إلى العدد 1 وهو ينهي السلسلة لأنه ليس أولياً ولا تركيبياً (ميزة أخرى من اعتبار الواحد عدداً غير أولي، وإلا صارت السلسلة لانهائية). ومن الأسهل أن نبدأ بفحص القسمة على 2 (وهو أول عدد أولي) ثم نتدرج إلى الأعداد الأولية الأكبر، ففي المثال التالي يتحلل العدد 8 إلى 2 ثلاث مرات.

\[ \begin{array}{r|l,l} 2 & \color{red}8 & \quad \text{Start: } \color{red}8 \div 2 = \color{green}4\\ 2 & 4 & \quad \color{green}4 \div 2 = \color{blue}2 \\ 2 & 2 & \quad \color{blue}2 \div 2 = 1\\ ~ & 1 & \quad \text{End} \end{array} \]

فإذا كان خارج القسمة \(q\) لا يقبل القسمة على 2 فإننا ننتقل إلى العدد الأولي التالي وهو 3، ثم التالي وهو 5، وهكذا.

\[ \begin{array}{r|l,l} 2 & \color{red}{30} & \quad \text{Start: } \color{red}{30} \div 2 = \color{green}{15} \\ 3 & 15 & \quad \color{green}{15} \div 3 = \color{blue}5 \\ 5 & 5 & \quad \color{blue}5 \div 5 = 1\\ ~ & 1 & \quad \text{End} \end{array} \]

فإذا وجدنا أن أحد خوارج القسمة في العملية لا يقبل القسمة على 2 ويقبل على 3، فهل نفحص قابلية خارج القسمة التالي له ابتداء من 2 أيضاً؟ لا نفعل ذلك، لأن الأعداد التركيبية تتحلل إلى مجموعة واحدة فريدة من الأعداد الأولية، ومعنى أن خارج القسمة لم يعد يقبل القسمة على 2 أن عدد ’الوحدات البنائية‘ من العدد 2 قد انتهى بالفعل ولا يمكن أن يوجد ما يقبل القسمة على 2 فيما بعد في هذه العملية، ففي المثال السابق العدد 15 لا يقبل القسمة على 2، وبالتالي فإن خارج القسمة التالي له لا نفحص فيه قابلية القسمة على 2. ربما يبدو هذا تافهاً وبسيطاً في هذه الحالة، لكن تعالوا نفحص مثالاً آخر:

\[ \begin{array}{r|l,l} 2 & \color{red}{20806} & \quad \text{Start: } \color{red}{20806} \div 2 = \color{green}{10403} \\ 101 & 10403 & \quad \color{green}{10403} \div 101 = \color{blue}{103} \\ 103 & 103 & \quad \color{blue}{103} \div 103 = 1\\ ~ & 1 & \quad \text{End} \end{array} \]

العدد المبدئي في المثال السابق يقبل القسمة على 2 بسهولة، أما خارج قسمته فلا يقبل القسمة على أي عدد أولي حتى العدد 101، وهو العدد الأولي رقم 26 في ترتيب الأعداد الأولية، أي أننا قمنا بتجربة قابلية قسمة 10403 على 26 عدداً أولياً مختلفاً حتى وجدنا أحد عوامله الأولية، لكن يتبقى لنا خارج قسمة هو 103. هل نعيد محاولات القسمة على الأعداد الأولية بدءًا من 2؟ أم أننا نبدأ هذه المرة من 101؟ البدء من 2 مضيعة للوقت والمجهود، لأن 103 لو كان سيقبل القسمة على 2 لقبل 10403 أيضاً القسمة على 2، لأن \(10403=101 \times 103\) وكما ذكرنا في المقال السابق \(2 \mid a \implies 2 \mid (101 \times a)\). وهكذا يمكننا تحليل أي عدد إلى عوامله الأولية. التحدي هنا هو إيجاد العدد الأولي التالي عند الانتهاء من عدد أولي معين، وهناك قائمة على موسوعة الإنترنت ويكيبيديا بها أول ألف عدد أولي، وفي المعاملات اليومية العادية غالباً ما يكفي معرفة الأعداد الأولية الأقل من العدد 100.

فإذا قمنا بتحليل عددين تركيبيين إلى عواملهما الأولية ووجدنا أن هناك عوامل مشتركة بينهما، فإننا نستنتج من ذلك أن حاصل ضرب هذه العوامل المشتركة هو من قواسم كل من هذين العددين. على سبيل المثال، العدد 120 والعدد 28 بينهما عوامل مشتركة هي العدد 2 مكرراً مرتين، وبالتالي فإن كلاً منهما يقبل القسمة على حاصل ضرب \(2 \times 2=4\).

\[ \newcommand{\circled}[2][red]{\enclose{circle}[mathcolor="#1"]{\color{black}{#2}}} \begin{array}{r|l,r|l} \circled{2} & 120 \quad & \quad \circled{2} & 28 \\ \circled{2} & 60 & \circled{2} & 14 \\ 2 & 30 & 7 & 7 \\ 3 & 15 & ~ & 1 \\ 5 & 5 \\ ~ & 1 \end{array} \]

وذلك يمكن استنتاجه رياضياً كالآتي:

\[ \text{For } x,y,i,j,k \in \mathbb{N}; \: a,b,c \in \mathbb{P} \\ A = a_1 \times a_2 \times \dotsb \times a_i \\ B = b_1 \times b_2 \times \dotsb \times b_j \\ C = c_1 \times c_2 \times \dotsb \times c_k \\ x = (a_1 \times a_2 \times \dotsb \times a_i) \times (\color{red}{c_1 \times c_2 \times \dotsb \times c_k}) = A \times C \\ y = (b_1 \times b_2 \times \dotsb \times b_j) \times (\color{red}{c_1 \times c_2 \times \dotsb \times c_k}) = B \times C \\ x = A \times C \implies C \mid x \\ y = B \times C \implies C \mid y \]

وفي المثال التالي فإن كلاً من العددين 840 و660 يقبل القسمة على \(2 \times 2 \times 3 \times 5 = 60\). ولكي أحدد العوامل المشتركة فإنني أرسم دائرة حول كل عامل مشترك في العددين، فتكون كل العوامل المحوطة بدائرة في أحدهما (وفقط في أحدهما لأن الآخر ’يشترك‘ في نفس العوامل) هي العوامل المشتركة.

\[ \begin{array}{r|l,r|l} \circled{2} & 840 \quad & \quad \circled{2} & 660 \\ \circled{2} & 420 & \circled{2} & 330 \\ 2 & 210 & \circled{3} & 165 \\ \circled{3} & 105 & \circled{5} & 55 \\ \circled{5} & 35 & 11 & 11 \\ 7 & 7 & ~ & 1 \\ ~ & 1 \end{array} \]

نلاحظ أيضاً أنه إذا اشترك عددان في بعض من عواملهما الأولية، فإن حاصل ضرب أي من هذه العوامل الأولية المشتركة هو من قواسم كل من هذين العددين، ففي المثال السابق نجد أن العددين 840 و660 يقبلان القسمة على \(2 \times 2 = 4\) وعلى \(2 \times 5 = 10\) وعلى \(3 \times 5 = 15\) وهكذا. إلا أن أكبر عدد يمكن أن يكون قاسماً مشتركاً للعددين هو العدد المكون من حاصل ضرب كل العوامل الأولية المشتركة بينهما، وهذا العدد نسميه القاسم المشترك الأعظم.

’القاسم المشترك الأعظم‘ (greatest common divisor; g.c.d.) هو أكبر قاسم مشترك بين عددين أو أكثر، وهو يساوي حاصل ضرب كل العوامل الأولية المشتركة بين هذه الأعداد.

وقد توجد أعداد ليس بينها قاسم مشترك سوى الواحد الصحيح. على سبيل المثال العددان 21 و55 ليس بينهما أي عوامل أولية مشتركة لأن \(21 = 3 \times 7\) و \(55 = 5 \times 11\)، وبالتالي فإن القاسم المشترك الوحيد بينهما هو الواحد الصحيح. مثل هذه الأعداد التي لا يوجد بينها قاسم مشترك سوى الواحد الصحيح تسمى ’الأعداد الأولية فيما بينها‘ (co-prime numbers)، ويلاحظ أن الأعداد الأولية فيما بينها تعني بمجموعة من عددين أو أكثر، فلا يوجد عدد أولي فيما بين نفسه، ونلاحظ أيضاً أن أي عددين أوليين هما بالضرورة أوليان فيما بينهما أيضاً لأن ليس بينهما قاسم مشترك سوى الواحد الصحيح.

فماذا إذا أردنا أن نعرف الأعداد التي تقبل القسمة على عددين \(a\) و\(b\)؟ من الواضح أن حاصل ضرب \(a\) و\(b\) يقبل القسمة على كل منهما كما شرحنا سابقاً. ولكنه ليس العدد الوحيد الذي يمكن أن يقبل القسمة على \(a\) و\(b\)، لأننا أوضحنا أن \(a\) إذا كان من قواسم أي عدد فهو أيضاً من قواسم حاصل ضرب هذا العدد في أي عدد صحيح، وبالتالي فإن حاصل ضرب \(a\) و\(b\) مضروباً في أي عدد صحيح يقبل أيضاً القسمة على \(a\) و\(b\). إذاً فهناك عدد لا نهائي من الأعداد التي تقبل القسمة على كل من \(a\) و\(b\).

\[ \text{For } a,b,c \in \mathbb{N} \\ x = a \times b \implies a \mid x; \: b \mid x \\ a \mid x \implies a \mid c \times x \\ b \mid x \implies b \mid c \times x \]

لكن واحداً من هذه الأعداد مميز عن الآخرين. أصغر الأعداد التي تقبل القسمة على كل من \(a\) و\(b\) يتميز عن كل الباقين بأنه أصغرهم. فكيف نحصل على مثل هذا العدد؟ لكي يكون عدداً ما \(x\) قابلاً للقسمة على آخر \(a\) فإنه يجب عند تحليل \(x\) إلى عوامله الأولية أن يحتوي على كل العوامل الأولية للعدد الآخر \(a\). فإذا أردنا أن نحصل على عدد \(x\) يقبل القسمة على كل من \(a\) و\(b\) فإن \(x\) يجب عند تحليله إلى عوامله الأولية أن يحتوي على كل العوامل الأولية الموجودة في \(a\) وكذلك الموجودة في \(b\). ولكننا نريد أن نعرف أصغر عدد يقبل القسمة على كل من \(a\) و\(b\)، ولذلك فإنه لا يجب أن يحتوي \(x\) على أي عدد أولي أكثر مما يلزم ليكون قابلاً للقسمة على \(a\) و\(b\).

على سبيل المثال، أصغر عدد يقبل القسمة على كل من 24 و20 هو العدد 120، وذلك لأن 120 يحتوي في عوامله الأولية على العدد 2 ثلاث مرات والعدد 3 مرة واحدة والعدد 5 مرة واحدة \(2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5=120\)، وهذا أقل عدد من العوامل الأولية يلزم ليكون العدد قابلاً للقسمة على كل من 20 و24، لأنه لو لم يحتوِ على العدد 3 لما قبل القسمة على 24 ولو لم يحتوِ على العدد 5 لما قبل القسمة على 20، ولو احتوى على العدد 2 مرتين فقط لما قبل القسمة على 24، ولو احتوى على العدد 3 أكثر من مرة واحدة أو العدد 5 أكثر من مرة واحدة أو العدد 2 أكثر من ثلاث مرات فإنه لن يكون أصغر الأعداد التي تقبل القسمة على كل من 20 و24.

\[ \begin{array}{r|l,r|l} \circled{2} & 24 \quad & \quad 2 & 20 \\ \circled{2} & 12 & 2 & 10 \\ \circled{2} & 6 & \circled{5} & 5 \\ \circled{3} & 3 & ~ & 1 \\ ~ & 1 \end{array} \]

أصغر عدد يقبل القسمة على عددين أو أكثر يسمى ’المضاعف المشترك الأدنى‘ (least common multiple; l.c.m.) لهذه الأعداد، وهو يساوي حاصل ضرب أكثر تكرار للعوامل الأولية في هذه الأعداد، ففي المثال السابق تكرر العدد 2 ثلاث مرات في عوامل العدد 24 ومرتين فقط في عوامل العدد 20 ولذلك فإننا نختار العدد 2 مكرراً ثلاث مرات.

وللحصول على المضاعف المشترك الأدنى فإنني أضع دائرة حول كل عامل من العوامل الأولية، ثم أشطب على ما يقابله—إن وجد—في الأعداد الأخرى، وأستمر هكذا حتى أنتهي من كل العوامل الأولية في كل الأعداد. في النهاية، العوامل الأولية المحاطة بدوائر في كل الأعداد تكون هي عوامل المضاعف المشترك الأدنى.

في المثال التالي، وبعد تحليل العددين 420 و90 إلى عواملهما الأولية، فإنني رسمت دائرة حول العدد 2 في عوامل 420، وكان هناك 2 تقابلها في عوامل 90 فشطبت عليها، ثم رسمت دائرة أخرى حول العدد 2 المكرر في عوامل 420، ولم تكن هناك 2 تقابلها في عوامل 90، ثم رسمت دائرة حول العدد 3 في عوامل 420 وشطبت على العدد 3 المقابل له في عوامل 90، ثم رسمت دائرة حول العدد 5 في عوامل 420 وشطبت العدد 5 المقابل له في عوامل 90، ثم رسمت دائرة حول العدد 7 في عوامل 420 ولم يكن هناك ما يقابله في عوامل 90، ثم انتقلت إلى عوامل العدد 90 التي لم يتم الشطب عليها فرسمت دائرة حول كل منها، ولهذا أستنتج أن المضاعف المشترك الأدنى للعددين 420 و90 هو \(2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 = 1260\)

\[ \begin{array}{r|l,r|l} \circled{2} & 420 \quad & \quad \color{red}{\cancel 2} & 90 \\ \circled{2} & 210 & \color{red}{\cancel 3} & 45 \\ \circled{3} & 105 & \circled{3} & 15 \\ \circled{5} & 35 & \color{red}{\cancel 5} & 5 \\ \circled{7} & 7 & ~ & 1 \\ ~ & 1 \end{array} \]

والمضاعف المشترك الأدنى لعددين أو أكثر أوليين فيما بينهم هو حاصل ضرب كل هذه الأعداد في بعضها البعض، وذلك لأننا لن عند تحليل هذه الأعداد إلى عواملها الأولية لن نشطب أياً من العوامل الأولية، إذ ليس منها ما هو مكرر، ولذلك فإن المضاعف المشترك الأدنى سيكون حاصل ضربها جميعاً، أي أنه حاصل ضرب الأعداد الأصلية في بعضها البعض. ولأن الأعداد الأولية هي أيضاً أولية فيما بينها، فإن المضاعف المشترك الأدنى لمجموعة من الأعداد الأولية هو حاصل ضرب هذه الأعداد في بعضها.

والقاسم المشترك الأعظم يمكن أن يكون بين أكثر من عددين، فمثلاً القاسم المشترك الأعظم للأعداد 12 و42 و60 و330 هو العدد \(2 \times 3 = 6\).

\[ \begin{array}{r|l,r|l,r|l,r|l} \circled{2} & 12 \quad & \quad \circled{2} & 42 \quad & \quad \circled{2} & 60 \quad & \quad \circled{2} & 330 \\ 2 & 6 & \circled{3} & 21 & 2 & 30 & \circled{3} & 165 \\ \circled{3} & 3 & 7 & 7 & \circled{3} & 15 & 5 & 55 \\ ~ & 1 & ~ & 1 & 5 & 5 & 11 & 11 \\ ~ & ~ & ~ & ~ & 1 & ~ & 1 \end{array} \]

والمضاعف المشترك الأدنى يمكن أيضاً أن يكون بين أكثر من عدين، فمثلاً المضاعف المشترك الأدنى للأعداد 8 و20 و70 و84 هو العدد \(2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 840\)

\[ \begin{array}{r|l,r|l,r|l,r|l} \circled{2} & 8 \quad & \quad \color{red}{\cancel 2} & 20 \quad & \quad \color{red}{\cancel 2} & 70 \quad & \color{red}{\cancel 2} & 84 \\ \circled{2} & 4 & \color{red}{\cancel 2} & 10 & \color{red}{\cancel 5} & 35 & \color{red}{\cancel 2} & 42 \\ \circled{2} & 2 & \circled{5} & 5 & \circled{7} & 7 & \circled{3} & 21 \\ ~ & 1 & ~ & 1 & ~ & 1 & \color{red}{\cancel 7} & 7 \\ ~ & ~ & ~ & ~ & ~ & ~ & ~ & 1 \end{array} \]

وسنرى فيما بعد كيف أن للقاسم المشترك الأعظم والمضاعف المشترك الأدنى فائدة كبيرة في حساب جمع وطرح الكسور.

ما عرفناه حتى الآن عن تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية وعن القاسم المشترك الأعظم والمضاعف المشترك الأدنى:

لتحليل أي عدد إلى عوامله الأولية نبدأ بفحص قابليته للقسمة على الأعداد الأولية مبتدئين من أصغرها وهو العدد 2، فإذا قبل القسمة فإننا نعيد فحص قابلية الناتج للقسمة على الأعداد الأولية مبتدئين من أكبر عدد أولي قُبِلَ القسمة عليه أثناء هذه العملية.
الأعداد الأولية فيما بينها هي الأعداد التي لا يوجد بينها قاسم مشترك سوى الواحد الصحيح. كل الأعداد الأولية هي أيضاً أولية فيما بينها، لكن توجد أعداد تركيبية هي أولية فيما بينها أيضاً إذ لا يوجد بينها قاسم مشترك سوى الواحد الصحيح.
القاسم المشترك الأعظم بين مجموعة من الأعداد هو أكبر عدد يمكن أن يكون قاسماً لكل من هذه الأعداد.
نحصل على القاسم المشترك الأعظم بين مجموعة من الأعداد عن طريق تحليل هذه الأعداد إلى عواملها الأولية ثم إيجاد العوامل الأولية المشتركة فقط بين هذه الأعداد، فيكون القاسم المشترك الأعظم هو حاصل ضرب هذه العوامل المشتركة.
القاسم المشترك الأعظم لمجموعة من الأعداد الأولية فيما بينها هو الواحد الصحيح.
المضاعف المشترك الأدنى لمجموعة من الأعداد هو أصغر عدد يقبل القسمة على كل من هذه الأعداد.
نحصل على المضاعف المشترك الأدنى لمجموعة من الأعداد عن طريق تحليل هذه الأعداد إلى عواملها الأولية، ثم إيجاد أكثر تكرار لكل عدد أولي في العوامل الأولية لكل من هذه الأعداد فيكون المضاعف المشترك الأدني هو حاصل ضرب كل هذه العوامل بأكثر تكرار لها.
المضاعف المشترك الأدنى لمجموعة من الأعداد الأولية فيما بينها هو حاصل ضرب هذه الأعداد في بعضها.