يَسْتَحِقُّ الْقِرَاءَةَ: الأعداد الأولية

هذه التدوينة هي من سلسلة تدور حول الرياضيات. هذا الرابط يحتوي على قائمة بالتدوينات المتعلقة بهذا الموضوع.

ذكرنا في مقال سابق أن باقي قسمة عدد \(a\) على عدد آخر \(b\) عندما يكون صفراً فإننا نقول إن \(a\) يقبل القسمة على \(b\)، والسؤال الآن: هل كل الأعداد تقبل القسمة على أعداد أخرى بخلاف الواحد الصحيح أم أن هناك أعداد لا تقبل القسمة إلا على نفسها أو على الواحد الصحيح؟ بديهي أن كل عدد \(a\) يقبل القسمة على آخر \(b\) يكون أكبر من الآخر المقسوم عليه أو مساوياً له، بمعنى أن يكون \(a \ge b\) وإلا إذا كان أصغر منه فإن \(a\) لن يكون به ’ما يكفي‘ للتقسيم على عدد \(b\) من المجموعات، وسيكون هناك حتماً باقٍ للقسمة لا يساوي الصفر، وبالتالي فإنه لن يكون قابلاً للقسمة على \(b\). وبما أن القسمة على الصفر غير معرفة، وبما أن

\[ \frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}; \quad b \neq 0 \]

فإن قبول القسمة من عدمه لا يعتمد على إشارة البسط أو المقام وإنما على القيمة المطلقة للبسط والمقام، ولذلك سنتعامل مع الأعداد الموجبة الصحيحة فقط (أي الأعداد الطبيعية) للتسهيل.

ناقشنا من قبل كيف أن الواحد الصحيح هو العامل المحايد الضربي، وأن ضرب أي عدد في الواحد الصحيح ينتج عنه نفس العدد. من ذلك نستنتج أن أي كل الأعداد تقبل القسمة على نفسها وعلى الواحد الصحيح (من تعريف القسمة):

\[ x \times 1 = x \iff \frac{x}{1} = x \\[2em] 1 \times x = x \iff \frac{x}{x} = 1 \]

’العدد الأولي‘ (prime number) هو كل عدد يقبل القسمة على نفسه والواحد الصحيح فقط، وبنظرة بسيطة نعرف أن 2 هو عدد أولي، لأن أي عدد لا يقبل القسمة إلا على ما هو أصغر منه أو يساويه، والأصغر من العدد 2 هو الواحد الصحيح فقط، فالعدد 2 لا يقبل القسمة إذاً إلا على نفسه والواحد الصحيح! هناك إذاً على الأقل عدد واحد أولي هو 2.

بالنظر إلى الأعداد الأكبر نجد أن 3 أيضاً عدد أولي لأنه لا يقبل القسمة على 2، ولذلك فهو يقبل القسمة على نفسه والواحد الصحيح فقط. العدد 4 ليس أولياً لأنه يقبل القسمة على 2، لكن العدد 5 أولي لأنه لا يقبل القسمة على أي عدد أصغر منه بخلاف الواحد الصحيح، وهكذا. مجموعة الأعداد الأولية يرمز لها بالرمز \(\mathbb{P}\).

الواحد الصحيح لا يدخل ضمن مجموعة الأعداد الأولية وسنعرف سبب ذلك لاحقاً.

حتى الآن لا توجد في علم الرياضيات قاعدة ثابتة يمكن من خلالها معرفة كل الأعداد الأولية، وإنما نعرفها عن طريق تجريب الحساب، وقد ساعد اختراع الحاسوب كثيراً في معرفة أعداد أولية ضخمة، وأكبر عدد أولي معروف حتى كتابة هذا المقال تم اكتشافه في أول عام 2016 بواسطة مشروع GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) ويتكون من أكثر من 22 مليون رقماً! ما هي إذاً فائدة الأعداد الأولية؟ لماذا نهتم بها؟ لنفحص أولاً قواعد قبول القسمة.

لتسهيل الكتابة نعتبر أن \(b\mid a\) تعني أن العدد \(a\) يقبل القسمة على العدد \(b\)، أو بتعبير آخر أن \(b\) يقسم \(a\) (\(b \text{ divides } a\)) أو أن \(b\) من قواسم \(a\)، وهذا ما هو إلا إعادة صياغة تعريف القسمة مع حذف ’باقي القسمة‘ لأنه في هذه الحالة دائماً صفر.

\[ b \mid a \iff a = b \times q; \quad a,b,q \in \mathbb{N}; \quad b \neq 0 \]

وفي حالة كون \(b \neq 0\) و \(q \neq 0\) فإن:

\[ \begin{equation} \label{eq:divisibilitydef} \large{\color{blue}{ \text{For } a,b,q \in \mathbb{N} \\ a = b \times q \implies b \mid a \quad \text{and} \quad q \mid a}} \end{equation} \]

أي عدد هو من قواسم الصفر، وإن كانت هذه القاعدة لن تفيدنا تحديداً في دراسة الأعداد الأولية.

\[ 0 \times a = 0 \iff a \mid 0; \quad a \in \mathbb{N} \]

إذا كان العدد \(b\) من قواسم العدد \(a\) فإن العدد \(b\) هو أيضاً من قواسم أي من مضاعفات العدد \(a\)، أي أنه من قواسم \(a\) مضروباً في أي عدد صحيح موجب.

\[ b \mid a \iff a = b \times q; \quad a,b,q \in \mathbb{N} \\ a \color{red}{\times c} = b \times q \color{red}{\times c}; \quad c \in \mathbb{N} \\ (a \times c) = b \times (q \times c) \implies b \mid (a \times c) \quad \text{from } \eqref{eq:divisibilitydef} \] \[ \begin{equation} \label{eq:divisibilityofmultiple} \large{\color{blue}{b \mid a \implies b \mid (c \times a); \quad a,b,c \in \mathbb{N}}} \end{equation} \]

إذا كان العدد \(b\) من قواسم العدد \(a\) وكان العدد \(c\) من قواسم العدد \(b\) فإن العدد \(c\) هو من قواسم العدد \(a\).

\[ b \mid a \iff a = \color{red}{b} \times m; \quad a,b,m \in \mathbb{N} \\ c \mid b \iff \color{red}{b} = c \times n; \quad c,n \in \mathbb{N} \\ a = (c \times n) \times m = c \times (n \times m) \implies c \mid a \] \[ \begin{equation} \label{eq:divisibilitychain} \large{\color{blue}{c \mid b \quad \text{and} \quad b \mid a \implies c \mid a; \quad a,b,c \in \mathbb{N}}} \end{equation} \]

إذا كان العدد \(a\) من قواسم العدد \(b\) وكان العدد \(a\) أيضاً من قواسم العدد \(c\) فإن العدد \(a\) من قواسم مجموع \(b\) و\(c\).

\[ a \mid b \iff \color{red}b = \color{green}{a \times m}; \quad a,b,m \in \mathbb{N} \\ a \mid c \iff \color{red}c = \color{green}{a \times n}; \quad c,n \in \mathbb{N} \\ \color{red}{(b + c)} = \color{green}{a \times m + a \times n} = a \times (m + n) \\ \therefore a \mid (b + c) \quad \text{from } \eqref{eq:divisibilitydef} \] \[ \begin{equation} \label{eq:divisibilitysum} \large{\color{blue}{a \mid b \quad \text{and} \quad a \mid c \implies a \mid (b+c); \quad a,b,c \in \mathbb{N}}} \end{equation} \]

ويمكن أيضاً أن نستنتج أن العدد \(d\) إذا كان من قواسم كل من الأعداد \(\{n_1, n_2, \dotsc , n_i\}\) فإنه يكون من قواسم مجموع هذه الأعداد بنفس الطريقة السابقة.

\[ \begin{equation} \label{eq:divisibilitysumextended} \large{\color{blue}{ \text{For } d,n,i \in \mathbb{N}; \quad n \in \{n_1, n_2, \dotsc , n_i\} \\ d \mid n \implies d \mid (n_1 + n_2 + \dotsb + n_i)}} \end{equation} \]

ومما سبق يمكن أيضاً أن نستنتج ما يلي:

\[ \left. \begin{matrix} a \mid b \implies a \mid (b \times s); \quad a,b,s \in \mathbb{N} \\ a \mid c \implies a \mid (c \times t); \quad c,t \in \mathbb{N} \end{matrix} \right \} \quad \text{from \eqref{eq:divisibilityofmultiple}} \\ a \mid (b \times s + c \times t) \quad \text{from \eqref{eq:divisibilitysum}} \] \[ \begin{equation} \label{eq:divisibilitycompound} \large{\color{blue}{a \mid b \quad \text{and} \quad a \mid c \implies a \mid (b \times s + c \times t) \\ a,b,c,s,t \in \mathbb{N}}} \end{equation} \]

أي إنه إذا كان العدد \(a\) من قواسم العدد \(b\) وكان العدد \(a\) أيضاً من قواسم العدد \(c\) فإن أي تعبير هو حاصل جمع \(b\) مضروباً في عدد طبيعي و\(c\) مضروباً في عدد طبيعي هو أيضاً يقبل القسمة على \(a\). ويمكن استنتاج أن هذه القاعدة تنطبق على أي عدد من الأعداد، فإذا كان \(d\) أحد قواسم الأعداد \(\{n_1, n_2, \dotsc , n_i\}\)، فإن العدد \(d\) هو أيضاً من قواسم مجموع حواصل ضرب كل من الأعداد \(\{n_1, n_2, \dotsc , n_i\}\) في عدد صحيح.

\[ \begin{equation} \label{eq:divsibilitycompoundextended} \large{\color{blue}{ \text{For } d,n,c,i \in \mathbb{N}; \\ n \in \{n_1, n_2, \dotsc , n_i\}; \\ c \in \{c_1, c_2, \dotsc , c_i\}; \\ d \mid n \implies d \mid (n_1 \times c_1 + n_2 \times c_2 + \dotsb + n_i \times c_i) }} \end{equation} \]

إذا كان العدد الأولي هو الذي يقبل القسمة على نفسه أو الواحد الصحيح فقط، فمعنى ذلك أن بقية ’الأعداد غير الأولية‘ (composite numbers) تقبل القسمة على أعداد أخرى غير نفسها والواحد الصحيح، فإذا كان عدد ما \(a\) يقبل القسمة على آخر \(b\) (سواء كان عدداً أولياً أم غير أولي) بحيث أن \(b \gt 1; \: b \neq a\)، فهل بالضرورة أن \(a\) يقبل القسمة على عدد أولي؟ مثلاً: العدد 60 يقبل القسمة على 12، فهل بالضرورة أن 60 يقبل القسمة على عدد أولي؟

فإذا كان \(b\) في هذه الحالة عدداً أولياً، فإن \(a\) يقبل القسمة على عدد أولي، أما إذا كان \(b\) غير أولي، فإن \(b\) يمكن أن يقبل القسمة على عدد آخر \(c\) بنفس الطريقة.

\[ \text{For } a,b,c \in \mathbb{N}; \quad a,b,c \gt 1 \\ b \mid a \implies \begin{cases} b \in \mathbb{P} \\ b \notin \mathbb{P} \implies c \mid b \implies c \mid a \quad \text{from } \eqref{eq:divisibilitychain} \end{cases} \]

فإذا كان \(b\) غير أولي ويقبل القسمة على \(c\) وكان \(c\) عدداً أولياً، فإن \(a\) يقبل القسمة على عدد أولي، وإذا لم يكن (مثل \(b\)) فإننا نعيد الكرة كما فعلنا مع \(b\)، وفي النهاية سنجد أن أي عدد غير أولي لا بد أنه يقبل القسمة على عددين أوليين على الأقل، لأن لأي عدد غير أولي قاسم أولي بالضرورة بخلاف العدد نفسه والواحد الصحيح كما اوضحنا عالياً، فإذا كان العدد \(a\) يقبل القسمة على العدد الأولي \(b\) فإن:

\[ b \mid a \iff a = b \times c \\ b \in \mathbb{P}; \quad a,c \in \mathbb{N}; \quad a \color{red} \notin \mathbb{P} \]

وبما أن \(b\) هو عدد أولي، فهو ليس الواحد الصحيح، وإذا كان \(c\) مساوياً للواحد الصحيح فإن ذلك يعني أن \(a\) هو عدد أولي بالضرورة، ولكننا قلنا أن \(a\) عدد غير أولي، وبالتالي لا يمكن أن يكون \(c\) مساوياً للواحد الصحيح.

\[ c=1 \iff a = b \times 1 = b \implies a \color{red} \in \mathbb{P} \\ \therefore c \neq 1 \]

وإذا كان العدد \(c\) لا يساوي الواحد الصحيح فإنه إما هو نفسه عدد أولي أو يقبل القسمة على عدد أولي:

\[ c \neq 1 \quad \text{and} \quad c \in \mathbb{N} \implies \begin{cases} c \in \mathbb{P} \\ c \notin \mathbb{P} \implies d \mid c; \quad d \in \mathbb{P} \end{cases} \]

فإذا كان \(c\) عدداً أولياً فإن \(a\) لا بد أن يقبل القسمة على عددين أوليين على الأقل (\(b\) و\(c\))، وإذا كان \(c\) غير أولي فإن \(a\) يقبل القسمة على العدد الأولي \(d\) من القاعدة \(\eqref{eq:divisibilitychain}\)، وبالتالي يقبل القسمة على عددين أوليين على الأقل (\(b\) و\(d\))، أي أنه في جميع الأحوال كل عدد غير أولي يقبل القسمة على عددين أوليين على الأقل. وليس هناك مانع أن يكون هذان العددان الأوليان متساويين، فالعدد 4 مثلاً يقبل القسمة على 2 مرتين، وإذا عبرنا عنه في شكل حاصل ضرب يمكن أن نقول \(4 = a \times b; \: a=b=2\).

أي أن كل الأعداد الطبيعية إما هي أعداد أولية أو تقبل القسمة على عددين أو أكثر من الأعداد الأولية، وبناء عليه فإن كل عدد غير أولي يمكن التعبير عنه في صورة حاصل ضرب عددين أو أكثر من الأعداد الأولية، قد يكون بعضها مساوياً للآخر (أي أنه لا يشترط أن يحتوي حاصل الضرب على العدد الأولي الواحد مرة واحدة فقط). نسمي معرفة الأعداد الأولية المكونة لكل عدد غير أولي ’تحليل العدد إلى عوامله الأولية‘ (prime factorization).

فهل يمكن تحليل العدد غير الأولي الواحد إلى أكثر من مجموعة مختلفة من العوامل الأولية؟ إذا فرضنا أن العدد \(a\) يمكن تحليله إلى مجموعتين مختلفتين من العوامل الأولية بينهما عدد أولي واحد فقط مختلف (كحد أدنى للاختلاف) فإن:

\[ \text{For } a,n \in \mathbb{N}; \quad a \notin \mathbb{P}; \quad d^*,d^{**},a_n \in \mathbb{P} \\ \begin{aligned} a & = d^* \times (\color{green}{a_1 \times a_2 \times \dotsb \times a_n}) \\ & = d^{**} \times (\color{green}{a_1 \times a_2 \times \dotsb \times a_n}) \\ \color{red}b & = \color{green}{a_1 \times a_2 \times \dotsb \times a_n} \\ a & = d^* \times \color{red}b = d^{**} \times \color{red}b \end{aligned} \\ \therefore d^* = d^{**} \]

أي أنه لا يمكن تحليل العدد غير الأولي إلى أكثر من مجموعة واحد فقط من الأعداد الأولية. فهل يمكن إذاً للمجموعة الواحد من الأعداد الأولية أن تعبر عن أكثر من عدد غير أولي؟ إذا فرضنا كما سبق وباعتبار أن \(a\) و\(b\) عددان أوليان غير متساويين فإن:

\[ \text{For } a,b,n \in \mathbb{N}; \quad n \gt 1; \quad a \notin \mathbb{P}; \quad a_n \in \mathbb{P} \\ \begin{aligned} a & = a_1 \times a_2 \times \dotsb \times a_n \\ b & = a_1 \times a_2 \times \dotsb \times a_n = a \end{aligned} \\ \therefore a = b \]

وبالتالي فإن كل مجموعة من الأعداد الأولية مضروبة في بعضها البعض تكوّن عدداً واحداً فقط غير أولي، وكل عدد غير أولي يمكن التعبير عنه بمجموعة واحدة فقط من الأعداد الأولية مضروبة في بعضها البعض، وبالتالي يمكن أن نقول:

\[ \begin{equation} \label{eq:factorization} \large{\color{blue}{ \begin{aligned} &\text{For } x,n \in \mathbb{N}; \: n \gt 1; \: x \notin \mathbb{P}; \: p \in \mathbb{P} \\ &x = p_1 \times p_2 \times \dotsb \times p_n \\ \end{aligned} }} \end{equation} \]

كل عدد غير أولي يمكن تحليله إلى مجموعة واحدة فريدة من العوامل الأولية، وحاصل ضرب كل مجموعة من العوامل الأولية يعبر عن عدد غير أولي واحد فريد، ولأن العدد الأولي الواحد يمكن أن يتكرر في مجموعة العوامل الأولية، فإن التفرد هنا يعني تعداد العوامل الأولية في المجموعة، وليس فقط وجودها من عدمه، فالمجموعة \(\{2,2,2\}\) المعبرة عن العدد 8 تختلف عن المجموعة \(\{2,2,2,2,2\}\) المعبرة عن العدد 32 (و لا نستخدم كلمة مجموعة في هذا السياق بمفهوم المجموعة في نظرية المجموعات).

ماذا يحدث الآن لو اعتبرنا العدد 1 من الأعداد الأولية؟ سنجد أنه في هذه الحالة لن يتحلل العدد الواحد إلى مجموعة أعداد أولية واحدة فريدة، بل سيكون هناك عدد لانهائي من مثل هذه المجموعات، لأننا يمكن أن نضيف 1 آخر إليها دائماً:

\[ a = a_1 \times a_2 \times \dotsb \times a_n \\ a = a_1 \times a_2 \times \dotsb \times a_n \times 1 \\ a = a_1 \times a_2 \times \dotsb \times a_n \times 1 \times 1 \\ a = a_1 \times a_2 \times \dotsb \times a_n \times 1 \times 1 \times 1 \\ a = a_1 \times a_2 \times \dotsb \times a_n \times 1 \times 1 \times 1 \times \dotsb \times 1 \]

ولهذا فقد اتفق على أن الواحد الصحيح لا يعد من الأعداد الأولية، لأن إخراجه من مجموعة الأعداد الأولية يجعل كل عدد غير أولي بخلاف الواحد الصحيح يتحلل إلى مجموعة واحدة فريدة من العوامل الأولية، واعتبار الواحد الصحيح عدداً أولياً يجعل كل عدد غير أولي بخلاف الواحد الصحيح يتحلل إلى عدد لا نهائي من مجموعات الأعداد الأولية تختلف عن بعضها البعض في عدد مرات تكرار الواحد الصحيح فقط، وبما أن الواحد الصحيح هو العامل المحايد الضربي، وتكراره لأي عدد من المرات مهما كان لا يؤثر على نتيجة الضرب، فإن إخراج الواحد الصحيح من الأعداد الأولية مفيد من وجهة النظر الرياضية ولا يؤثر على نتيجة تحليل أي عدد غير أولي إلى عوامله الأولية.

لكن الواحد الصحيح على الرغم من أنه عدد غير أولي إلا أنه لا يمكن تحليله إلى عوامل أولية! الواحد الصحيح لا يمكن التعبير عنه في صورة أعداد صحيحة موجبة مضروبة في بعضها البعض غير الواحد الصحيح نفسه، أي أن التعبير عنه يكون في الصورة الأتية فقط:

\[ 1 = 1 \times 1 \times 1 \times \dotsb \times 1 \]

ولذلك فإن التسمية الشائعة ’أعداد غير أولية‘ تسمية مربكة إلى حد ما في اللغة العربية، بخلاف التسمية الإنجليزية composite numbers، وأُفَضِّل تسمية الأعداد التي يمكن تحليلها إلى عوامل أولية ’الأعداد التركيبية‘ (نظراً لأن اسم ’الأعداد المركبة‘ مستخدم بالفعل ليعني complex numbers).

الواحد الصحيح هو إذاً ليس عدداً أولياً وليس عدداً تركيبياً أيضاً!! إذ أن العدد التركيبي يمكن تحليله إلى حاصل ضرب عددين أوليين على الأقل، والواحد لا يمكن تحليله إلى حاصل ضرب أي عددين صحيحين غير الواحد الصحيح والواحد الصحيح، والواحد الصحيح ليس عدداً أولياً، ولذلك فإن العدد 1 يحتل موقعاً متميزاً عن باقي الأعداد كلها، فهو ليس أولياً ولا تركيبياً. ولهذا فإننا منذ هذه النقطة فصاعداً يجب ألا نستخدم تعبير ’الأعداد غير الأولية‘ لنعني بها ’الأعداد التركيبية‘، لأن الأعداد غير الأولية هي الأعداد التركيبية بالإضافة إلى الواحد الصحيح الذي ليس عدداً تركيبياً ولا عدداً أولياً.

ما عرفناه حتى الآن عن الأعداد الأولية يتلخص فيما يلي:

الأعداد الأولية هي الأعداد الصحيحة الموجبة الأكبر من الواحد الصحيح والتي لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى الواحد الصحيح.
الأعداد التركيبية هي الأعداد الصحيحة الموجبة التي تقبل القسمة على عدد غير نفسها والواحد الصحيح.
الواحد الصحيح ليس من الأعداد الأولية ولا هو من الأعداد التركيبية.
كل عدد تركيبي يمكن التعبير عنه في صورة حاصل ضرب مجموعة واحدة فريدة من الأعداد الأولية (تتفرد في تكرار كل عدد أولي فيها) من عددين أوليين على الأقل، وحاصل ضرب كل مجموعة من عددين على الأقل من الأعداد الأولية يعبر عن عدد تركيبي واحد فريد.
إذا كان العدد \(b\) من قواسم العدد \(a\) فإن العدد \(b\) هو أيضاً من قواسم العدد \(a\) مضروباً في أي عدد صحيح.
إذا كان العدد \(b\) من قواسم العدد \(a\) وكان العدد \(c\) من قواسم العدد \(b\) فإن العدد \(c\) من قواسم العدد \(a\).
إذا كان العدد \(d\) من قواسم كل عدد في مجموعة من الأعداد فإنه يكون أيضاً من قواسم مجموع هذه الأعداد كلها.
إذا كان العدد \(d\) من قواسم كل عدد في مجموعة من الأعداد فإنه يكون أيضاً من قواسم مجموع حواصل ضرب كل من هذه الأعداد في عدد صحيح.

أمثلة

سؤال: إذا أرادت معلمة أن توزع على الأطفال في فصلها عدداً معيناً من قطع الحلوى لكل طفل، ثم وجدت أن سعر الحلوى قليل فأمكنها شراء ضعف كمية الحلوى، فهل يمكن إن تتوزع ضعف الكمية بالتساوي على الأطفال؟
جواب: نعم، لأن عدد الأطفال إذا كان من قواسم عدد قطع الحلوى فإنه أيضاً يكون من قواسم عدد قطع الحلوى مضروباً في أي عدد صحيح كما هو مذكور في \(\eqref{eq:divisibilityofmultiple}\)
سؤال: إذا أراد أب أن يشتري لأبنائه هدايا يوزعها بالتساوي على كل منهم، وفي نفس الوقت لم تكون الأم تعلم بذلك فاشترت هي أيضاً هدايا لهم توزعها بالتساوي على كل منهم، فهل تتوزع الهدايا كلها بالتساوي على الأطفال؟
جواب: نعم تتوزع، لأن عدد الأطفال إذا كان قاسماً لعدد الهدايا التي اشتراها الأب وكذلك قاسماً لعدد الهدايا التي اشترتها الأم فإنه يكون قاسماً لمجموع الهدايا كما هو في \(\eqref{eq:divisibilitysum}\)
سؤال: عدد من الأصدقاء يأكلون حبات العنب، وتصادف أن عدد البذور في كل حبة عنب منها يقبل القسمة على 3، فقد يكون 3 أو 6 أو 9 مثلاً، فإذا جمعوا كل بذور العنب من بعضهم، اذكر قاسماً من قواسم عدد البذور.
جواب: عدد البذور الإجمالي مهما كان سيقبل القسمة على 3. لنفرض أن عدد البذور في كل حبة عنب هو \(s\) بحيث أنه أحد الأعداد \(\{s_1, s_2, \dotsc , s_i\}\) التي تقبل القسمة على 3، وأن من إجمالي حبات العنب التي أكلها الأصدقاء كان هناك عدد \(n_1\) من الحبات التي بها \(s_1\) من البذور، و \(n_2\) من الحبات التي بها \(s_2\) من البذور وهكذا، فإن العدد 3 سيكون من قواسم كل من القيم \(s_1 \times n_1\) و\(s_2 \times n_2\) و\(s_3 \times n_3\) وهكذا بناء على \(\eqref{eq:divisibilityofmultiple}\)، وبالتالي فإن مجموع تلك القيم سيكون قابلاً للقسمة على 3 بناء على \(\eqref{eq:divisibilitysum}\). \[ \text{Seeds per grape: } s \in \{s_1, s_2, \dotsc , s_i \} \\ \text{Number of grapes with } s_i \text{ seeds: } n \in \{n_1, n_2, \dotsc , n_i \} \\ \text{Total number of seeds: } S = n_1 \times s_1 + n_2 \times s_2 + \dotsb + n_i \times s_i \\ 3 \mid s \implies 3 \mid s_1; \: 3 \mid s_2; \: \dotsc \: ; 3 \mid s_i \\ 3 \mid (s_1 \times n_1); \: 3 \mid (s_2 \times n_2); \: \dotsc \: ; 3 \mid (s_i \times n_i) \quad \text{from }\eqref{eq:divisibilityofmultiple}\\ 3 \mid (s_1 \times n_1 + s_2 \times n_2 + \dotsb + s_i \times n_i) \quad \text{from } \eqref{eq:divisibilitysum}\\ \therefore 3 \mid S \]
سؤال: أوصى الطبيب مريضاً ما بالمشي كل يوم مدة لا تقل عن 10 دقائق، وقرر هذا المريض أن يمشي من منزله إلى منزل صديقه كل يوم ثم يعود إلى منزله من نفس الطريق وفي نفس الفترة الزمنية، وكرر هذا الأمر لعدد من الأيام. اذكر قاسماً من قواسم المدة الإجمالية التي مشاها المريض بناء على تعليمات الطبيب.
جواب: المدة الإجمالية تقبل القسمة على 2. المريض كان يمشي كل يوم مرة ذهاباً ومرة إياباً مستغرقاً نفس المدة الزمنية \(t\) وبالتالي فإن 2 هو من قواسم المدة الزمنية \(T_{daily}=2 \times t\) التي كان يمشيها كل يوم، وقد كرر هذا الأمر لمدة عدد من الأيام \(n\) لا نعلمه، لكن المدة الزمنية الإجمالية \(T_{total}\) هي حاصل ضرب مدة المشي اليومية في عدد الأيام، وبالتالي فإن المدة الزمنية اليومية من قواسم المدة الزمنية الإجمالية، ومن \(\eqref{eq:divisibilitychain}\) نستنتج أن 2 من قواسم المدة الزمنية الإجمالية. \[ T_{daily} = 2 \times t \implies 2 \mid T_{daily} \\ T_{total} = n \times T_{daily} \implies T_{daily} \mid T_{total} \\ \therefore 2 \mid T_{total} \]
سؤال: طلب معلم من تلاميذه في الفصل أن يختار كل منهم عدداً أولياً ما بين العدد 1 والعدد 10، ثم جمع هذه الأعداد وكتبها على السبورة، وطلب منهم أن يحسبوا حاصل ضرب هذه الأعداد، فكانت النتائج مختلفة. هل هناك نتيجة منهم على الأقل صحيحة؟
جواب: لا نعلم! كل ما نعلمه أن أي مجموعة من الأعداد الأولية يكون حاصل ضربها عدداً تركيبياً واحداً فريداً كما ذكرنا في \(\eqref{eq:factorization}\)، وبالتالي فإن النتيجة لا بد أن تكون واحدة لكل التلاميذ. اختلاف النتائج لا يعني أن واحدة منهم صحيحة، ولكنه يعني أن كلها ما عدا واحدة على الأكثر خاطئة، وقد تكون كلها خاطئة، لكن لا يمكن أن تكون هناك أكثر من إجابة واحدة صحيحة.