برتراند راسل (Bertrand Russell) فيلسوف وعالم رياضيات ومنطق وكاتب بريطاني ولد عام ١٨٧٢ وتوفي عام ١٩٧٠، وكانت له مساهمات عظيمة في الرياضيات والمنطق، ومن ضمن هذه المساهمات ما يعرف باسم مفارقة راسل (Russel's paradox) التي سميت على اسمه بالطبع. القصة تبدأ من عام ١٨٧٤ وعندما كان برتراند راسل عمره عامان فقط، وفي ذلك العام نشر عالم الرياضيات الألماني جورج كانتور (Georg Cantor) ورقة أسست لما نطلق عليه الآن نظرية المجموعات (Set Theory)، وقد كان لهذه النظرية أكبر الأثر في تطور المنطق والكثير من فروع الرياضيات، وكانتور له إسهامات تاريخية في علم الرياضيات أحدها تأسيس نظرية المجموعات. لكن لأن نظرية المجموعات كانت في المهد في هذا الوقت، فحتى العبقري كانتور لم يفطن إلى أن تعريفه الرياضي للمجموعة ليس كاملاً، وأنه ينتج عنه مفارقة تجعل هناك تناقضاً في الرياضيات، وهو أمر غير مقبول بالمرة.
الثلاثاء، 6 سبتمبر 2016
السبت، 3 سبتمبر 2016
الأعداد الأولية
هذه التدوينة هي من سلسلة تدور حول الرياضيات. هذا الرابط يحتوي على قائمة بالتدوينات المتعلقة بهذا الموضوع.
المقال السابق: القسمة والكسور
ذكرنا في مقال سابق أن باقي قسمة عدد \(a\) على عدد آخر \(b\) عندما يكون صفراً فإننا نقول إن \(a\) يقبل القسمة على \(b\)، والسؤال الآن: هل كل الأعداد تقبل القسمة على أعداد أخرى بخلاف الواحد الصحيح أم أن هناك أعداد لا تقبل القسمة إلا على نفسها أو على الواحد الصحيح؟ بديهي أن كل عدد \(a\) يقبل القسمة على آخر \(b\) يكون أكبر من الآخر المقسوم عليه أو مساوياً له، بمعنى أن يكون \(a \ge b\) وإلا إذا كان أصغر منه فإن \(a\) لن يكون به ’ما يكفي‘ للتقسيم على عدد \(b\) من المجموعات، وسيكون هناك حتماً باقٍ للقسمة لا يساوي الصفر، وبالتالي فإنه لن يكون قابلاً للقسمة على \(b\). وبما أن القسمة على الصفر غير معرفة، وبما أن
\[ \frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}; \quad b \neq 0 \]فإن قبول القسمة من عدمه لا يعتمد على إشارة البسط أو المقام وإنما على القيمة المطلقة للبسط والمقام، ولذلك سنتعامل مع الأعداد الموجبة الصحيحة فقط (أي الأعداد الطبيعية) للتسهيل.
الخميس، 1 سبتمبر 2016
القسمة والكسور
هذه التدوينة هي من سلسلة تدور حول الرياضيات. هذا الرابط يحتوي على قائمة بالتدوينات المتعلقة بهذا الموضوع.
المقال السابق: الضرب والقسمة
حتى الآن كان كل تعاملنا مع الأعداد الصحيحة، سواء كانت موجبة أم سالبة، لكن الطبيعة من حولنا فيها الكثير من الأشياء التي لا تعتبر وحدات صحيحة، بل إننا في الكثير من الأحيان نود تقسيم الوحدة الصحيحة إلى أجزاء، وقد عرف القدماء أهمية الكسور منذ القدم، ونجد أن قدماء المصريين عرفوا الكسور منذ عصر الدولة القديمة كما ذكرت في مقال سابق.
والكسور ما هي إلا تقسيم شيء على شيء آخر، وكانت هناك طرق كثيرة قديماً للتعبير عن الكسور، لكن الطريقة الرياضية الحديثة تتميز بأنها تمكننا من التعبير عن كل قيم الكسور الممكنة وتسهل علينا إجراء العمليات الحسابية عليها، ونعبر عن الكسور في الرياضيات الحديثة في صورة قسمة. الكسر يتكون من مقسوم \(x\) ومقسوم عليه \(y\)، وغالباً ما نعبر عنه بالصورة \(\frac{x}{y}\) ونسمي المقسوم ’البسط‘ (numerator) والمقسوم عليه ’المقام‘ (denominator)، وعلى الرغم من أننا يمكن أن نعبر عن الكسر بأي صورة من صور القسمة، إلا أن التعبير السابق هو الأكثر شيوعاً، وأحياناً نريد التعبير عن نسبة كمية ما إلى كمية أخرى، فنستخدم التعبير \(x:y\)، وهذا هو في واقع الأمر كسر أيضاً لكن مكتوب في صورة مختلفة، والتفريق في الصورة هنا للتفريق في المعنى فقط، لكي نوضح أننا نريد التعبير عن نسبة وليس تقسيم هذه الكمية على تلك، لكن من وجهة النظر الرياضية، فإن كل ما يجري على هذه يجري على تلك أيضاً.