نظرية المجموعات: مقدمة

منذ حوالي 100 عام، أسس جورج كانتور (Georg Cantor) نظرية المجموعات (Set theory) ومنذ ذلك الحين فإن العديد من فروع الرياضيات استخدمت نظرية المجموعات لتطوير علم الرياضيات وإضافة مفاهيم جديدة، وكانت صياغة كانتور لمفهوم المجموعة الرياضية قاصرة بعض الشيء، وعلى الرغم من ذلك فإن مفهوم نظرية المجموعات كما صاغها ما زال صالحاً للاستخدام في أغلب الأحوال، ويختلف المفهوم الحديث للمجموعة الرياضية عن مفهوم كانتور بأنه وضع تعريفاً دقيقاً جداً للمجموعة في صورة عدد من المسلمات لتجنب قصور التعريف الأصلي، ولا يتعارض التعريف الحديث مع تعريف كانتور ولكنه يحدده بوضوح لتجنب حدوث متناقضات مثل مفارقة راسل (Russel's paradox)، لكنني سأقصر الحديث في هذا المقال على المفهوم الأصلي البسيط للمجموعة الرياضية لسهولته وصلاحيته لمعظم الاستخدامات الرياضية العادية، وهذا المفهوم يسمى نظرية المجموعات الكانتورية (Cantorian set theory) أو نظرية المجموعات البسيطة (Naive set theory) في مقابل المفهوم الأحدث والأكثر صرامة المسمى نظرية المجموعات المسلمية (Axiomatic set theory) والتي يوجد منها عدة أنواع، ولكي نفهم لغة الرياضيات المستخدمة في هذا السياق نستعرض أولاً كيفية التعبير عن شيء من المنطق في الرياضيات.

قوانين التفكير

أرسطو

قوانين التفكير هي قواعد ثلاثة بسيطة تشكل الأساس لكل عملية فكرية نعملها، وهي كأي فكرة أولية لا يمكن إثباتها ولا استنتاجها من شيء آخر، لكن نقيضها أو نفيها يمكن الجدل ضده بقوة، ومنها قوانين ثلاثة تقليدية يعود تاريخها إلى زمن أفلاطون (Plato) الفيلسوف الإغريقي الشهير، وعلى مر القرون توصلنا إلى معرفة أصح لهذه القوانين وكيفية استخدامها، وفي خلال عصر النهضة في أوروبا حدث الكثير من التطور في العلوم والفلسفة، فأعاد العالم الألماني الشهير لايبنتس (Leibniz) مراجعة هذه القوانين وأضاف إليها، على الرغم أن بعض إضافاته لا تزال محل جدل. في هذا المقال أناقش قوانين التفكير ومعناها وكيفية استخدامها الصحيح، وأقدم بعض أمثلة لاستخدامها في الرياضيات، لكن الأمثلة الرياضية ليست ضرورية لفهم قوانين التفكير ولا النقاش هذا.